设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，，证明：(1)数列是等比数列； (2)Sn+1=4an．

题文

答案

证明：（1）∵

，
∴(n+2)S_n=n(S_n+1-S_n)，
整理，得nS_n+1=2(n+1)S_n，
∴

，
故

是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知

，
于是

，
又a₂=3S₁=3，
故S₂=a₁+a₂=4=4a₁，
因此，对于任意的正整数n≥1，都有S_n+1=4a_n。

解析

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考点

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。