已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=p(p是常数)，bn=an·an+1，n∈N*，若{bn}是等比数列，甲同学说：{an}一定是等比数列

题文

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=p(p是常数)，b_n=a_n·a_n+1，n∈N*，若{b_n}是等比数列，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确，为什么？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：甲、乙两人的说法都不正确，理由如下：
设{b_n}的公比为q，则

，且q≠0，
又

，
∴

是以1为首项，p为公比的等比数列；


是以p为首项，q为公比的等比数列，
即数列{a_n}为：1，p，q，pq，q²，pq²，…，
当q=p²时，{an}是等比数列；
当q≠p²时，{a_n}不是等比数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{bn}满.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。