已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*，(Ⅰ)证明：{an-1}是等比数列；(Ⅱ)求数列{Sn}的通项公式．请指出n为

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N*，
(Ⅰ)证明：{a_n-1}是等比数列；
(Ⅱ)求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)证明：当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁-85，
解得a₁=-14，则a₁-1=-15，
当n≥2时，S_n-1=(n-1)-5a_n-1-85，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1，
∴6a_n=5a_n-1+1，即

，
∴{a_n-1}是首项为-15，公比为

的等比数列．
(Ⅱ)解：

，
∴

，
当n≥2时，设

，
即

，解得n＞

≈15.85，
当2≤n≤15时，S_n＜S_n-1；
当n≥16时，S_n＞S_n-1；
故n=15时，S_n取得最小值。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。