已知数集A={a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，(

题文

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}(1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a_ia_j与

两数中至少有一个属于A，
(Ⅰ)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)证明：a₁=1，且

；
(Ⅲ)证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)解：由于3×4与

均不属于数集{1，3，4}，所以该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，

都属于数集{1，2，3，6}，所以该数集具有性质P．
(Ⅱ)证明：因为A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，所以a_na_n与

中至少有一个属于A．
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_na_n＞a_n，故a_na_n

A，
从而

，故a₁=1；
因为1=a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_ka_n＞a_n，故a_ka_n

A(k=2，3，…，n)．
由A具有性质P可知

，
又因为

，
所以

，
从而

，
故

。
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当n=5时，有

，即

，
因为

，
所以

，故

，
由A具有性质P可知

，
由

，得

，且

，
所以

，
故

，
即

是首项为1，公比为a²的等比数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数集A={a1，a2，…，an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。