设数列{an}满足：ban-2n=(b-1)Sn，当b=2时，求证：{an-n·2n-1}是等比数列；求an的通项公式．

题文

设数列{a_n}满足：ba_n-2ⁿ=(b-1)S_n，
（Ⅰ）当b=2时，求证：{a_n-n·2^n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求a_n的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：由题意，在

中，令n=1，得

，a₁=2，
由

，得



，
两式相减得：

，
即

，    ①
（Ⅰ）当b=2时，由①知，

，
于是





，
又

，
所以

是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知，

，即

；
当b≠2时，由①：

，
两边同时除以2ⁿ得

，
可设

，②
展开②得

，
与

比较，得

，
∴

，
∴

，
∴

是等比数列，公比为

，首项为

，
∴

，
∴

，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：ban-.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。