设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=-man。求证：数列{an}是等比数列；（2

题文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m>0）。
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b_n²}的前n项和T_n＜

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n=1时



解得a₁=1
当n≥2时



即


∵m为常数，且m>0
∴


∴数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列。
（2）由（1）得，


∵


∴


即


∴

是首项为

，公差为1的等差数列
∴


即

。
（3）由（2）知


则


所以


当n≥2时



所以






。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。