设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an-p，其中p是不为零的常数。证明：数列{an}是等比数列； 当p=3时，若数列{bn}满足

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-p，其中p是不为零的常数。
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=3时，若数列{b_n}满足b_n+1=b_n+a_n（n∈N*），b₁=2，求数列{b_n}的通项公式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为S_n=4a_n-p（n∈N*），
则S_n-1=4a_n-1-p（n∈N*，n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=


由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-p，
解得


所以{a_n}是首项为

公比为

的等比数列。
（2）因为当p=3时，a₁=1，则


由

（n=1，2…），得


当n≥2时，由累加得



当n=1时，上式也成立，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为S.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。