在数列{an}中，a1=1，a2=1，an+1=λan+an-1。若λ=-，bn=an+1-αan，数列{bn}是公比为β的等比数列，求α和β

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+1=λa_n+a_n-1。
（1）若λ=-

，b_n=a_n+1-αa_n，数列{b_n}是公比为β的等比数列，求α和β的值；
（2）若λ=1，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数？如果存在，求出k和n；如果不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵{b_n}是公比的β的等比数列
∴


∴


即


又


∴


∴α、β是方程

的两根
∴

或

。
（2）假设存在正整数k，n使得


与

有大于1的公约数d
则d也是


即

的约数
依题设


∴d是

的约数
从而d是

与

的公约数
同理可得d是

的约数，
依次类推，d是ka₄+a₂与ka₃+a₁的约数
∵a₁=1，a₂=1，故a₃=2，a₄=3，
于是ka₄+a₂=3k+1，ka₃+a₁=2k+1
又∵（3k+1）-（2k+1）=k，
∴d是k的约数和2k+1的约数，
∴d是（2k+1）-k即k+1的约数，
从而d是（k+1）-k即1的约数，这与d>1矛盾
故不存在k，n使与有大于1的公约数。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。