有n2个正数aij，排成n×n矩阵：，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数

题文

有n²（n≥4）个正数a_ij（i=1，2，…n，j=1，2，…n），排成n×n矩阵（n行n列的数表）：

，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足a₂₄=1，a₄₂=

，a₄₃=

。
（1）求公比q；
（2）用k表示a_4k。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为每一行的数成等差数列，
所以a₄₂，a₄₃，a₄₄成等差数列，
所以a₄₄=2a₄₃-a₄₂=


又每一列的数成等比数列，
故a₄₄=a₂₄·q²

q²=


又因为a_ij>0，
所以q>0，故

。
（2）由已知，第四行的数成等差数列，且d=a₄₃-a₄₂=

，
a_4k为此行中第k个数，
所以a_4k=a₄₂+（k-2）d=

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“有n2（n≥4）个正数aij.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。