已知数列{an}满足an+1=2an+n+1。若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；证明{an}不可能是等比数列；

题文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）。
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，求{a_n}的通项公式以及前n项和公式。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为{a_n}是等差数列，设其首项为a₁，公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，
于是有a₁+nd=2[a₁+（n-1）d]+n+1，
整理得a₁+nd=（2a₁-2d+1）+（2d+1）n，
因此

，
解得a₁=-3，d=-1。
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，设其首项为a₁，
则a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
于是有（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），
解得a₁=-4，
于是公比q=

，
这时a₄=a₁q³=（-4）·（

）³=-


但事实上，a₄=2a₃+4=8a₁+18=-14，二者矛盾，
所以{a_n}不是等比数列。
（3）由a_n+1=2a_n+n+1可得a_n+1+（n+1）+2=2（a_n+n+2），
所以数列{a_n+n+2}是一个公比为2的等比数列，其首项为（a₁+1+2）=-1+1+2=2，
于是a_n+n+2=2·2^n-1=2ⁿ
故a_n=2ⁿ-n-2，
于是{a_n}的前n项和公式


。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an+1=2a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。