等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点均在函数y=bx+r的图像上，求r的值

题文

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式

成立。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为对任意的n∈N*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，
所以得

，
当n=1时，

，
当n≥2时，

，
又因为{a_n}为等比数列，所以r=-1，公比为b，

。
（2）当b=2时，

，

，
则

，
所以

，
下面用数学归纳法证明不等式成立，
①当n=1时，左边=

，右边=

，因为

＞

，所以不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即

成立，
则当n=k+1时，
左边=




，
所以当n=k+1时，不等式也成立；
由①、②可得不等式恒成立。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。