在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=an-qan-1，设bn=an+1-an，证明{bn

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0），
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由题设

（n≥2），
得

，即

，n≥2，
又

，q≠0，
所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）

，


，
……


，（n≥2），
将以上各式相加，得

（n≥2），
所以当n≥2时，

，
上式对n=1显然成立；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q=1时，显然a₃不是a₆与a₉的等差中项，故q≠1，
由

可得

，
由q≠0得

， ①
整理得

，解得

（舍去），
于是

，
另一方面，

，


，
由①可得

，n∈N*，
所以对任意的n∈N*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。