已知定义在R上的函数f和数列{an}满足下列条件：a1=a，an=f，a2≠a1，f-f

题文

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a_n=f（a_n-1）（n=2，3，4，…），a₂≠a₁，f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，…）其中a为常数，k为非零常数。
（1）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N*），证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）当|k|＜1时，求

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由

，可得

。
由数学归纳法可证



。
由题设条件，当

时
 


因此，数列

是一个公比为k的等比数列。
（2）由（1）知，


当

时，


当

时，

，

。
而

，


所以，当

时


，

。
上式对

也成立。
所以，数列

的通项公式为


当

时，

，

。
上式对

也成立，
所以，数列

的通项公式为

，

。
（3）当

时，

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。