设fk为关于n的k次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn。对于任意的正整数n，an+Sn=fk都成立。若k=0，

题文

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n。对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立。
（1）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）若k=0，则

为常数，
不妨设

（c为常数），
因为

恒成立，
所以

，
而且当n≥2时，

， ①


， ②
①-②得

，
若a_n=0，则

，…，a₁=0，与已知矛盾，
所以

，
故数列{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列；
 （2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去；
(ii)若k=1，设

（b，c为常数），
当n≥2时，

， ③
 

， ④
③-④得

，
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有

（常数），
而a₁=1，
故{a_n}只能是常数数列，通项公式为a_n=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为a_n=1（n∈N*），
此时

；
(iii)若k=2，设

（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，

， ⑤


， ⑥
⑤-⑥得

，
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有

，且d=2a，
考虑到a₁=1，
所以

，
故当k=2时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为

，
此时

（a为非零常数）；
(iv)当k≥3时，若数列{a_n}能成等差数列，则

的表达式中n的最高次数为2，故数列{a_n}不能成等差数列；
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a_n}能成等差数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设fk（n）为关于n的k（k∈N）.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。