已知数列{an}满足：a1=1，，n=2，3，4，…，求a3，a4，a5的值；设，n=1，2，3，…，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，

，n=2，3，4，…，
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设

，n=1，2，3，…，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a_n}中是否存在连续的2^m项构成等差数列？若存在，写出这2^m项，并证明这2^m项构成等差数列；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）因为a₁=1，
所以a₂=1+2a₁=3，

，a₄=1+2a₂=7，

；
（Ⅱ）证明：由题意，对于任意的正整数n，

，
所以

，
又

，
所以

，
又

，
所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以b_n=2ⁿ；
（Ⅲ）存在。
事实上，对任意的m≥2，k∈N*，
在数列{a_n}中，

这连续的2^m项就构成一个等差数列。
我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2^n-1），k∈N*，有

”，
由（Ⅱ），得

，
所以

，
当k为奇数时，

，
当k为偶数时，

，
记

，
因此要证

，
只需证明

，
其中

，k₁∈N*，
（这是因为若

，则当

时，则k一定是奇数）
有




；
当

时，则k一定是偶数，
有




，
如此递推，要证

，
只要证明

，
其中

，k₂∈N*，
如此递推下去，我们只需证明

，
即

，
由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2^n-1），k∈N*，
有

，
对任意的m≥2，m∈N*，


，其中i∈（0，2^m-1），i∈N*，
所以

，
又

，
所以

，
所以

这连续的2^m项，是首项为

，公差为

的等差数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1，，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。