已知有穷数列{an}共有2k项，首项a1=2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1=Sn+2，其

题文

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2。设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1，
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若

，数列{b_n}满足b_n=

log₂（a₁a₂…a_n）（n=1，2，…，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中的数列{b_n}满足不等式

，求k的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a₂=2a，则

；
当2≤n≤2k-1时，

，
∴

，即

，
∴

，
故数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得

（n=1，2，…，2k），
∴



，


（n = 1，2，…，2k），
即数列{b_n}的通项公式为

（n=1，2，…，2k）；
（Ⅲ）设

，解得

，
又n为正整数，于是可得：当n≤k时，

；当n≥k+1时，

，














，
由

，得

，
又整数k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立，
故k的值为2，3，4，5，6，7。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知有穷数列{an}共有2k.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。