设数列{an}满足a1=t，a2=t2，前n项和为Sn，且Sn+2-Sn+1+tSn=0。证明数列{an}为等比数列，并求{a

题文

设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，前n项和为S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N*）。
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）当

＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；
（3）若

＜t＜2，bn=

，求证：

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）证明：由S_n-2-（t+1）S_n+1+tS_n=0，
得tS_n+1-tS_n=S_n+2-S_n+1，即a_n+2=ta_n+1，而a₁=t，a₂=t²，
∴数列{a_n}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴a_n=tⁿ；
（2）∵（tⁿ+t-ⁿ）-（2ⁿ+2-ⁿ）=（tⁿ-2ⁿ）[1-（

）ⁿ]，又

＜t＜2，
∴

＜1，则tⁿ-2ⁿ＜0且1-（

）ⁿ>0，
∴（tⁿ-2ⁿ）[1-（

）ⁿ]＜0，
∴tⁿ+t-ⁿ＜2ⁿ+2-ⁿ；
（3）证明：∵

，
∴2




，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=t，a2=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。