已知数列{an}的前n项和Sn=3n-1，数列{bn}满足b1=1，bn=3bn-1+an，记数列{bn}的前n项和为Tn。证明{an}为

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），记数列{b_n}的前n项和为T_n。
（Ⅰ）证明{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）设P_n=S_n+T_n，若对于任意n∈N*，都有

成立，求实数λ的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）证明：因为数列{a_n}的前，n项和S=3ⁿ-1，
所以a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1） =2·3^n-1（n≥2），
因为n=1时，a₁=S₁=2也适合上式，
所以a_n=2·3^n-1（n∈N*），
因为

，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列；
（Ⅱ）当 n≥2时，b_n=3b_n-1+2-3^3n-1，
将其变形为

，
即


所以数列

，是首项为

公差为2的等差数列，
所以


所以b_n= （2n-1）·3^n-1（n∈N*），
因为T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）. 3^n-1，
所以3T_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-1）·3ⁿ，
两式相减得2T_n=-1-2（3¹+3²+…+3^n-1）+ （2n-1）·3ⁿ，
整理得T_n=（n-1）·3ⁿ+1（n∈N*）；
（Ⅲ）由P_n=S_n+T_n=n·3ⁿ，得


于是


化为

（*）
①当n是正奇数时，（*）式可化为

，
显然

，大于0，且随着正奇数n的增大而减小，
由于（*）式对任意正奇数n恒成立，
所以

，
②当n是正偶数时，（*）式可化为

，
显然

随着正偶数n的增大而减小，
由于（*）式对任意正偶数n恒成立，
所以

，
综上，实数λ的取值范围是

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=3.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。