设数列{an}的首项a1=1，其前n项和Sn满足：3tSn﹣Sn﹣1=3t． 求证：数列{an}

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n﹣（2t+3）S_n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，…）． （1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，

，求和：b₁b₂﹣b₂b₃+b₃b₄﹣b₄b₅+…+b_2n﹣1b_2n﹣b_2nb_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）﹣（2t+3）=3t，





又3tS_n﹣（2t+3）S_n﹣1=3t，
3tS_n﹣1﹣（2t+3）S_n﹣2=3t（n=3，4，）
两式相减，得：3ta_n﹣（2t+3）a_n﹣1=0，




（n=3，4，）
综上，数列{a_n}为首项为1，公比为

的等比数列
（2）由

，得

，
所以{b_n}是首项为1，公差为

的等差数列，


b₁b₂﹣b₂b₃+b₃b₄﹣b₄b₅+…+b_2n﹣1b_2n﹣b_2nb_2n+1
=（b₁﹣b₃）b₂+（b₃﹣b₅）b₄+…+（b_2n﹣1﹣b_2n+1）b_2n
=


=

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项a1=1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。