已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为﹣2的等差数列；am+1，am+2，…a2m是首项为，公比为的等比数列（m≥3，m∈

题文

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为﹣2的等差数列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首项为

，公比为

的等比数列（m≥3，m∈N*），并对任意n∈N*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₀；
（2）若

，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n+24=a_n；所以a₂₀₁₀=a₁₈
a₁₈是以

为首项，以

为公比的等比数列的第6项，
所以


（2）

，所以m≥7
因为

，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N
（2k+1）m=45，
当k=0时，m=45，成立．
当k=1时，m=15，成立；
当k=2时，m=9成立
当k≥3时，

；
所以m可取9、15、45
（3）








设f（m）=704m﹣64m²，


g（m）＞1922；
f（m）=﹣64（m2﹣11m），对称轴

，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
因为1922＞1920，所以不存在这样的m

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知无穷数列{an}中，a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。