已知函数f=2，g=4，数列{an}满足a1=2，且g+f=0．试探究数列{an-

题文

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）试探究数列{a_n-1}是否是等比数列；
（2）试证明

；
（3）设b_n=3f（a_n）﹣g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项．若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由（a_n+1﹣a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
得4（a_n+1﹣a_n）（a_n﹣1）+（a_n﹣1）²=0
化得：（a_n﹣1）（4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1）=0，?a_n﹣1=0或4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1=0，
由已知a₁=2，∴a_n﹣1=0（舍去）．
∴4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1=0得4a_n+1=3a_n+1
从而有：a_n+1﹣1=


∴数列{a_n﹣1}是首项为a₁﹣1=1，公比为

的等比数列
∴a_n﹣1=

，
∴数列{a_n}通项公式为a_n=

+1．
（2）由（1）知

=



+n=4[1﹣

]+n
∵对?n∈N*，有

，
∴



，
∴

+n≥1+n，
即


（3）由b_n=3f（a_n）﹣g（a_n+1）得b_n=3（a_n﹣1）²﹣4（a_n+1﹣1）
∴



=




令

，则0＜u≤1，
b_n=3（u²﹣u）=


∵函数



在

上为增函数，在

上为减函数
当n=1时u=1，
当n=2时

，
当n=3时，

=

，
当n=4时

，
∵



，且




∴当n=3时，b_n有最小值，即数列{b_n} 有最小项，最小项为




当n=1即u=1时，b_n有最大值，即有最大项，最大项为b₁=3（1﹣1）=0．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，g.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。