已知等差数列{an}的首项为正整数，公差为正偶数，且a5≥10，S15＜255．求通项an；若数列a1，a3，，，，…，…，成等比数列，试找出

题文

已知等差数列{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，且a₅≥10，S₁₅＜255．
（1）求通项a_n；
（2）若数列a₁，a₃，

，

，

，…

，…，成等比数列，试找出所有的n∈N*，使

为正整数，说明你的理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为 a₅≥10，S₁₅＜255，设{a_n}的公差为d，则有

．
化简可得

，∴2d＜5．
再由{a_n}的首项为正整数，公差为正偶数，∴d=2,
∴a₁=2
故

．
（2）由（1）可知a₁=2，a₃=6，
∴公比

，
∴

，
∴2·3ⁿ⁺¹=2b_n，

，
故

=

．
此时当n=1，3，5时符合要求；当n=2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n=2k﹣1，k∈N*时，C_n为正整数．
证明如下：
逆用等比数列的前n项和公式有：

．
当n=2k，k∈N*时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时


当n=2k﹣1，k∈N*时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时


故满足要求的所有n为n=2k﹣1，k∈N*．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项为正整数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。