已知数列{an}的首项，．求证：数列为等比数列；记，若Sn＜100，求最大的正整数n．是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成

题文

已知数列{a_n}的首项

，

．
（1）求证：数列

为等比数列；
（2）记

，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m﹣1，a_s﹣1，a_n﹣1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵

，
∴

，
∵

，
∴

，
∴

，
∴数列

为等比数列．
（2）由（1）可求得

，
∴

．


=

，
若S_n＜100，则

，
∴n_max=99．
（3）假设存在，则m+n=2s，（a_m﹣1）●（a_n﹣1）=（a_s﹣1）²，
∵

，
∴

．
化简得：3^m+3ⁿ=2●3^s，
∵

，当且仅当m=n时等号成立．
又m，n，s互不相等，
∴不存在．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项，．（1）求.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。