已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0的两实根，且a1=1．求证：数列是等比数列；设Sn是数

题文

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列

是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的两实根，
∴


∵

．
故数列

是首项为

，公比为﹣1的等比数列．
（2）由（1）得

，即


∴


=

．
（3）由（2）得


要使b_n＞λS_n，对

n∈N*都成立，
即

（*）
①当n为正奇数时，由（*）式得：


即


∵2n+1-1＞0，
∴

对任意正奇数n都成立，
故

为奇数）的最小值为1．
∴λ＜1．
②当n为正偶数时，由（*）式得：

，
即


∵2n-1＞0，
∴

对任意正偶数n都成立，
故

为偶数）的最小值为

．
∴

．
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n
对

n∈N*都成立，λ的取值范围为（﹣∞，1）．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的相邻两项an，a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。