设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S3=9，S6=36．求数列{an}的通项公式；是否存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列

题文

设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{b_n}的通项公式为b_n=3n﹣2．集合A={x|x=a_n，n∈N*}，B={x|x=b_n，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，
由S₃=9和S₆=36，得

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣1，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2n﹣1．
（2）存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列．
∵存在正整数m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列，
∴（2m﹣1）（2k﹣1）=（2m+9）²，
∴

=

=2m﹣1+20+

，
即

，m，k是正整数，
∴存在正整数m，k，使a_m，a_m+5，a_k成等比数列，
m，k的值分别是m=1，k=61或m=1，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a_3k﹣2=2（3k﹣2）﹣1=6k﹣5，a_3k﹣1=2（3k﹣1）﹣1=6k﹣3，a_3k=23k﹣1=6k﹣1，
b_2k﹣1=3（2k﹣1）﹣2=6k﹣5=a_3k﹣2，b_2k=32k﹣2=6k﹣2

A，
∴a_3k﹣2=b_2k﹣1＜a_3k﹣1＜b_2k＜a_3k，k=1，2，3，…，
即当n=4k﹣3，k∈N*时，c_n=6k﹣5；
当n=4k﹣2，k∈N*时，c_n=6k﹣3；
当n=4k﹣1，k∈N*时，c_n=6k﹣2；
当n=4k，k∈N*时，c_n=6k﹣1．
∴{c_n}的通项公式是c_n=

，
即

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和是Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。