已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=且Sn=Sn﹣1+an﹣1+，数列{bn}满足b1=﹣且3bn﹣bn﹣1=n．求{an}

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

且S_n=S_n﹣1+a_n﹣1+

，数列{b_n}满足b₁=﹣


且3b_n﹣b_n﹣1=n（n≥2且n∈N*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n﹣a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=S_n﹣1+a_n﹣1+

，得S_n﹣S_n﹣1=a_n﹣1+

，2a_n=2a _n﹣1+1，a_n=a _n﹣1+


∴a_n=a₁+（n﹣1）d=

n﹣


（2）证明：∵3b_n﹣b_n﹣1=n，∴b_n=

b_n﹣1+

n，
∴b_n﹣a_n=

b_n﹣1+

n﹣

n+

=

b_n﹣1﹣

n+

=

（b_n﹣1﹣

n+

）；
b_n﹣1﹣a_n﹣1=b_n﹣1﹣

（n﹣1）+

=b_n﹣1﹣

n+

；
∴由上面两式得

，
又b₁﹣a₁=﹣

﹣

=﹣30
∴数列{b_n﹣a_n}是以﹣30为首项，

为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n﹣a_n=﹣30×

，
∴

=

，
b_n﹣b_n﹣1=




=

=

＞0，
∴{b_n}是递增数列当n=1时，
b₁=﹣

＜0；
当n=2时，b₂=

＜0；
当n=3时，b₃=

＜0；
当n=4时，b₄=

＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃=

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。