已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=，n∈N*，设bn+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；设bn+1=，n∈N

题文

已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=

，n∈N*，
（1）设b_n+1=1+

，n∈N*，求证：数列

是等差数列；
（2）设b_n+1=



，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意可知，a_n+1=

=

=


∴


从而数列{

}是以1为公差的等差数列。
（2）∵a_n＞0，b_n＞0
∴


从而

（*）
设等比数列{a_n}的公比为q，
由a_n＞0可知q＞0
下证q=1
若q＞1，则



，
故当

时，



与（*）矛盾
0＜q＜1，则

，故当

时，

与（*）矛盾
综上可得q=1，a_n=a₁，
所以，


∵


∴数列{b_n}是公比

的等比数列
若

，则

，于是b₁＜b₂＜b₃
又由

可得


∴b₁，b₂，b₃至少有两项相同，矛盾
∴

，从而

=


∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的两个数列{an}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。