已知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，设，常数t∈N*.求证：{bn}为等差数列；设数列{cn}满足cn=anbn，是否存在正整数k，使

题文

已知数列{a_n}是首项为

，公比为

的等比数列，设

，常数t∈N*.
（Ⅰ）求证：{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，是否存在正整数k，使c_k,c_k+1,c_k+2按某种次序排列后成等比数列，若存在，求k,t的值，若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解:（Ⅰ）

，

，
∴{b_n}是首项为b₁=t+5,公差为5的等差数列
（Ⅱ）

，令5n+t=x，
则

，

，


①若

，则


化简得：

，解得x=10或

（舍）
进而求得：k=1,t=5或k=2,t=0（舍）
②若

，同理可得：

，显然无解.
③若

，同理可得：

，方程无整数根
综上：存在k=1,t=5适合题意.

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为，公比为的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。