已知数列{an}是等差数列，a3=10，a6=22，数列{bn}的前n项和是Tn，且．求数列{an}的通项公式；求证：数列{bn}是等比数列

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且

．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）记c_n=a_n·b_n，求证：c_n+1＜c_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）解：∵数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，
∴ 

解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n﹣1）×4=4n﹣2．
（II）证明：由于

 ，①
令n=1，得

 ，解得

 
当n≥2时，

 ②
①﹣②得 

， ∴

 
又

 ，∴ 

．
∴数列{b_n}是以 

为首项，

 为公比的等比数列．
（III）证明：由（II）可得 

．  
∴

 
∴ 

．
∵n≥1，故c_n+1﹣c_n＜0， ∴c_n+1＜c_n．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a3=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。