已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列．又bn=1a2n，n=1，2，3，…．证明{bn}为等比数列；如果数列

题文

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁，lga₂，lga₄成等差数列．又bn=1a2n，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于724，求数列{a_n}的首项a₁和公差d． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列
∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁?a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
∴d=0或d=a₁
当d=0时，a_n=a₁，b_n=1a2n=1a1，
∴bn+1bn=1，
∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，b_n=1a2n=12na1，
∴bn+1bn=12，
∴{b_n}为等比数列
综上可知{b_n}为等比数列
（2）当d=0时，b_n=1a2n=1a1，
∴b₁+b₂+b₃=3a1=724
∴a₁=727；
当d=a₁时，b_n=1a2n=12na1
∴b₁+b₂+b₃=12a1+14a1+18a1=78a1=724
∴a₁=3
综上可知a1=727d=0或a1=3d=3

解析

1a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项均为正数的等差数列，l.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。