下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球!设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数

题文

下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球!设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x，y，z
（1）当n=3时，求x、y、z成等差数列的概率；（2）当n=6时，求x、y、z成等比数列的概率；
（3）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ．
分析：显然题目描述的是独立重复实验，但不是我们熟悉的两个而是三个，因此需要运用类比方法求解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以x=0y=1z=2，或x=1y=1z=1，或x=2y=1z=0
当x=0，y=1，z=2时，只投掷3次出现1次2点或3点、2次4点或5次6点，即此时的概率为C13?(16)0?(13)1?(12)2=14．
当x=1，y=1，z=1时，只投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，即此时的概率为C13?C12?(16)1?(13)1?(12)1=16．
当x=2，y=1，z=0时，只投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，即此时的概率为C13?(16)2?(13)1?(12)0=136．
故当n=3时，x，y，z成等差数列的概率为14+16+136=49；
（2）当n=6，且x、y、z成等比数列时，由x+y+z=6，且y²=x?z得：x=y=z=2．此时概率为C26?(16)2?C24?(13)2?C22?(12)2=572；
（3）ξ的可能值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(12)4+C14?(16)1?C13?(13)1?C22(12)2+C24?(16)2?C22(13)2=107432P(ξ=1)=C14(16)1(12)3+C14(13)1(12)3+C24(16)2C12(13)1C11(12)1+C14(16)1C23(13)2C11(12)1=512P(ξ=2)=C24(16)2(12)2+C24(13)2(12)2+C34(16)3(13)1+C14(16)1(13)3=155648P(ξ=3)=C34(16)3(12)1+C34(13)1(12)1=112；P(ξ=4)=C44(16)4+C44(13)4=171296；Eξ=107432×0+512×1+155648×2+112×3+171296×4=9781．

解析

x=0y=1z=2

考点

据考高分专家说，试题“下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。