设f=x2，g=8x，数列{an}满足a1=2，•g+f=0，记bn=78(n+1)(an-1

题文

设f（x）=x²，g（x）=8x，数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，记bn=78(n+1)(an-1)．（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知，得（a_n+1-a_n）•8（a_n-1）+（a_n-1）²=0．
即（a_n-1）（8a_n+1-7a_n-1）=0．                
∵a₁=2≠1，∴a₂≠1，同理a₃≠1，…，a_n≠1．
∴8a_n+1=7a_n+1．                          
即8（a_n+1-1）=7（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，78为公比的等比数列．  
（Ⅱ）由（1），得an-1=(78)n-1．
∴bn=(n+1)•(78)n．                 
则bn+1=(n+2)•(78)n+1．
∵bn+1bn=n+2n+1•78，设bn+1bn≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，b_n＜b_n+1；当n=6时，b₆=b₇，当n＞6时，b_n＞b_n+1．
∴当n=6或7时，b_n取得最大值．                        
（Ⅲ）Sn=2•78+3•(78)2+4•(78)3+…+n•(78)n-1+(n+1)•(78)n78•Sn=2•(78)2+3•(78)3+4•(78)4+…+n•(78)n+(n+1)•(78)n+1
相减得：18•Sn=2•78+(78)2+(78)3+…+(78)n-(n+1)•(78)n+1=78+78×8×[1-(78)n]-(n+1)•(78)n+1
=638-(n+9)•(78)n+1
∴Sn=63-8(n+9)•(78)n+1．

解析

78

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。