已知数列{an}中，a1=12，点在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．令bn=an+1-an-1，求证数列{bn}是等比数列；

题文

已知数列{a_n}中，a₁=12，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：a₁=12，2a_n+1=a_n+n，
∵a₂=34，a₂-a₁-1=34-12-1=-34，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴bn+1bn=an+2-an+1-1an+1-an-1
=an+1+(n+1)2-an+n2-1an+1-an-1=an+1-an-12an+1-an-1=12．
b_n=-34×（12）^n-1=-32×12n，
∴{b_n}是以-34为首项，以12为公比的等比数列．
（2）∵a_n+1-a_n-1=-32×12n，
∴a₂-a₁-1=-32×12，
a₃-a₂-1=-32×122，
∴a_n-a_n-1-1=-32×12n^-1，
将以上各式相加得：
∴a_n-a₁-（n-1）=-32（12+122++12n^-1），
∴a_n=a₁+n-1-32×12(1-12n-1)1-12
=12+（n-1）-32（1-12n-1）=32n+n-2．
∴a_n=32n+n-2．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=12，点（n，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。