设a1=2，a2=4，数列{bn}满足：bn=an+1-an，bn+1=2bn+2，求证：数列{bn+2}是等比数列，求数列{a

题文

设a₁=2，a₂=4，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求证：数列{b_n+2}是等比数列（要指出首项与公比），
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），
∵bn+1+2bn+2=2，又b₁+2=a₂-a₁=4，
∴数列{b_n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知b_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．∴b_n=2ⁿ⁺¹-2．则a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2
令n=1，2，…n-1，则a₂-a₁=2²-2，a₃-a₂=2³-2，…，a_n-a_n-1=2ⁿ-2，
各式相加得a_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1）=2ⁿ⁺¹-2-2n+2=2ⁿ⁺¹-2n．
所以a_n=2ⁿ⁺¹-2n．

解析

bn+1+2bn+2

考点

据考高分专家说，试题“设a1=2，a2=4，数列{bn}满足：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。