已知函数f(x)=xx+3，数列{an}满足a1=1，an+1=f．求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}满足bn=12a

题文

已知函数f(x)=xx+3，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足bn=12anan+1•3n，Sn=b1+b2+…+bn，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，a_n+1=anan+3，所以1an+1=3an+1，
∴1an+1+12=3（1an+12），
∴数列{1an+12}是以1+12=32为首项，以3为公比的等比数列．
∴1an+12=32•3 ^n-1=3n2，1an=3n-12
所以a_n=23n-1
（2）bn=12anan+1•3n=2•3n(3n-1)(3n+1-1)=13n-1-13n+1-1
S_n=b₁+b₂+…+b_n=131-1-132-1+（132-1-133-1）+…+（13n-1-13n+1-1）=12-13n+1-1

解析

anan+3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=xx+3，数列{an}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。