已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．求an及Sn；令bn=Can，求

题文

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=C an（其中C为常数，且C≠0  n∈N^*），求证数列{b_n}为等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，因为a₃=7，a₅+a₇=26，
所以a1+2d=72a1+10d=26，解得a1=3d=2．
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=n(3+2n+1)2=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，所以当n≥2时，bnbn-1=c2n+1c2n-1=c2≠0为常数．
所以，数列{b_n}是以b1=c3为首项，c²为公比的等比数列．

解析

a1+2d=72a1+10d=26

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足：a3=7，a5.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。