在数列{an}中，已知a1=1，记Sn为数列的前n项和，且当n≥2时，an，Sn，Sn-12成等比数列，n∈N，求Sn．

题文

在数列{a_n}中，已知a₁=1，记S_n为数列的前n项和，且当n≥2时，a_n，S_n，Sn-12成等比数列，n∈N，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

在数列{a_n}中，已知a₁=1，当n≥2时，a_n，S_n，Sn-12成等比数列，n∈N，
故有 Sn2=a_n•（Sn-12）=（S_n-S_n-1）•（Sn-12）=Sn2-12S_n-S_n•S_n-1+12S_n-1．
化简可得 S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1，两边同时除以S_n•S_n-1 可得 1Sn-1Sn-1=2，故{1Sn}是以1位首项，以2为公差的等差数列．
故 1Sn=1+（n-1）2=2n-1，
∴S_n=12n-1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知a1=1，记Sn为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。