已知数列{an}和{bn}，对一切正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．如果数列{bn}为常数列，bn

题文

已知数列{a_n}和{b_n}，对一切正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3成立．
（Ⅰ）如果数列{b_n}为常数列，b_n=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{a_n}的通项公式为a_n=n，求证数列{b_n}是等比数列．
（Ⅲ）如果数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）若b_n=1，结合已知条件得：a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ⁺¹-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=3ⁿ-2（n-1）-3．（n≥2）
两式相减得：a_n=2•3ⁿ-2，当n=1时也适合．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2•3ⁿ-2．       …（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，由已知得：b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-1）b₁=3ⁿ-2（n-1）-3，（n≥2）．
两式相减得：b_n+b_n-1+b_n-2+…+b₁=2•3ⁿ-2，…（7分）
再将n用n-1迭代，得：b_n-1+b_n-2+b_n-3+…+b₁=2•3^n-1-2．
两式相减得：b_n=4•3^n-1，经检验n=1时也适合．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=4•3^n-1，
可得数列{b_n}是4为首项，公比为3的等比数列．    …（10分）
（Ⅲ）设数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，由已知得：
a₁b_n-1q+a₂b_n-2q+a₃b_n-3q+…+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
即：q（a₁b_n-1+a₂b_n-2+a₃b_n-3+…+a_n-1b₁）+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
可得q[3ⁿ-2（n-1）-3]+a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3
∴a_n=(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)b1   …（13分）
若q=3时，a_n=4nb1，数列{a_n}为等差数列．
若q≠3时，因为a₂-a₁≠a₃-a₂，
∴a_n=(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)b1不是等差数列．
因此，当q=3时，数列{a_n}为等差数列；而当q≠3时，数列{a_n}不为等差数列…（16分）

解析

(3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q)b1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}，对一切正整数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。