已知数列{an}是公比大于1的等比数列，满足a3•a4=128，a2+a5=36；数列{bn}满足bn+1=2bn-bn-1，且b2≠b1=

题文

已知数列{a_n}是公比大于1的等比数列，满足a₃•a₄=128，a₂+a₅=36；数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-b_n-1（n∈N^*，n≥2），且b₂≠b₁=1，b₂，b₄，b₈成等比数列．
（1）求{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，a3•a4=128a2+a5=36⇒a2•a5=128a2+a5=36，又a₅＞a₂，
∴a2=4a5=32，解得a1=2q=2，
∴a_n=2ⁿ．
由b_n+1=2b_n-b_n-1，得2b_n=b_n+1+b_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d，由b42=b₂•b₈及b₁=1，得：（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
∴d²=d，又b₂≠b₁，
∴d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
∴a_n=2ⁿ，b_n=n；
（2）由S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ得：
2S_n=1×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹；
两式相减得：-S_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n×2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）×2ⁿ⁺¹，
故S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

解析

a3•a4=128a2+a5=36

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公比大于1的等比数列，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。