已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=14Sn+1-12(其中n∈N*)．求a2，a3；设bn=12an+1-an，证明数列{bn}是等

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=14Sn+1-12(其中n∈N*)．
（I）求a₂，a₃；
（Ⅱ）设b_n=12an+1-an，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项；
（Ⅲ）设c_n=22n+1an•an+1，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）S_n+1=4a_n+2，当n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，a₂=5；（1分）
当n=2时，a₁+a₂+a₃=4a₂+2，6+a₃=22，a₃=16；（2分）
（II）由an=14Sn+1-12得，an+1=14Sn+2-12，an+1-an=14an+2
12an+1-an=14an+2-12an+1=12(12an+2-an+1)，
∴bn=12bn+1，bn+1bn=2∴数列{b_n}是公比为2的等比数列．（4分）
b1=12a2-a1=32，
∴bn=32•2n-1=3•2n-2（5分）
（III）由（II）
3•2n-2=12an+1-an，34=an+12n+1-an2n，令dn=an2n，d1=a12=12
∴数列{dn}是首项为12，公差为34的等差数列．（7分）
∴dn=12+(n-1)34=3n-14
cn=22n+1an•an+1=1dndn+1=43(1dn-1dn+1)
∴Tn=43(1d1-1d2+1d2-1d3+…+1dn-1dn+1)=43(2-43n+2)=8n3n+2（8分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。