已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=3+(-1)n-12，n∈N*，且a1=2．求a2，a3的值；设cn

题文

已知数列{a_n}与{b_n}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=3+(-1)n-12，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由bn=3+(-1)n-12，n∈N*，可得bn=2，n为奇数1，n为偶数
又因为b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
当n=1时，a1+2a2=-1，由a1=2，可得a2=-32；
当n=2时，2a₂+a₃=5，可得a₃=8．
（Ⅱ）证明：对任意n∈N^*都有：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
并且有：2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即c_n=3×2^2n-1，
于是cn+1cn=4，
所以{c_n}是等比数列．

解析

3+(-1)n-12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}与{bn}满足bn+1a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。