设f=ax+b，a≠0，Sn=f+f+f+…+f，若f=5，且f，f，f成等比数列，求Sn．

题文

设f（x）=ax+b，a≠0，S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），若f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（3）=5，f（1）、f（2）、f（5）成等差数列，
∴3a+b=5(a+b)(5a+b)=(2a+b)2，…（3分）
解得a=2b=1，或a=0b=5（舍去，因为a≠0），…（5分）
∴f（x）=2x-1，…（6分）
∴f（n+1）-f（n）=2（n+1）-1-（2n-1）=2，（8分）
∴{ f（n）}是等差数列，f（1）=1，f（n）=2n-1，…（10分）
∴S_n=n(1+2n-1)2=n2．                                 …（12分）

解析

3a+b=5(a+b)(5a+b)=(2a+b)2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax+b，a≠0，Sn=f（.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。