过点P作曲线C：y=x2的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1．又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影

题文

过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁．又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，…．依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为{a_n}．
（1）求证数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）令bn=nan，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对y=x²求导数，得y'=2x，切点是M_n（a_n，a_n²）的切线方程是y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a₁²=2a₁（1-a₁），得a₁=2；
当n＞1时，切线过点Pn-1(an-1，0)，即0-a2n=2an(an-1-an)，得anan-1=2
所以数列{a_n}是首项a₁=2，公比为2的等比数列．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N^*（6分）
（2）∵bn=nan，a_n=2ⁿ，∴bn=n2n
S_n=121+222+323+…+n2n            ①
2S_n=122+223+…+n-12n+n2n+1   ②
①-②，得-S_n=12+122+123+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1=1-32n+1

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。