已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d，b1=d2，且a21+a22+a23b1+b2+b3是正整数，则q等

题文

已知等差数列{a_n}的公差d不为0，等比数列{b_n}的公比q是小于1的正有理数．若a₁=d，b₁=d²，且a21+a22+a23b1+b2+b3是正整数，则q等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意：a₂=a₁+d=2d，a₃=a₁+2d=3d
b₂=b₁q=d²q，b₃=b₁q²=d²q²
∴a21+a22+a23b1+b2+b3=d2+4d2+9d2d2+d2q  +d2q2=141+q+q2
又∵a21+a22+a23b1+b2+b3是正整数，q是小于1的正有理数．
可令141+q+q2=t，t是正整数，则有14t=1+q+q2，即q2+q+1-14t=0
解得q=-1+-3+56t2
对t赋值，验证知，当t=8时，有q=12符合题意
故答案为：12

解析

a21+a22+a23b1+b2+b3

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d不为0，等比.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。