已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，有n，an，Sn成等差数列．记数列bn=an+1，求证：数列{bn}是等比数列．数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意n∈N^*，有n，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）记数列b_n=a_n+1（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为T_n，求满足117＜Tn+n+2T2n+2n+2＜17的所有n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：S_n=2a_n-n，S_n+1=2a_n+1-（n+1）⇒a_n+1=2a_n+1-2a_n-1⇒a_n+1=2a_n+1，
bn+1bn=an+1+1an+1=2an+2an+1=2；
又由S₁=a₁=2a₁-1⇒a₁=1
所以数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）b_n=a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1，
可以得出T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
从而117＜Tn+n+2T2n+2n+2=(12)n＜17
所以n的值为3，4．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。