各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1=2，a5=512，Tn是数列{log2an}的前n项和．求数列{an}的通项公式；求Tn；求满足(

题文

各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=512，T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）求满足(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)＞10112013的最大正整数n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设公比为q，依题意，2×q⁴=512
∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
∴q=4
∴∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1；
（II）由（I）得b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-1）=2n-1
∴数列{b_n}为首项为1，公差为2的等差数列
∴T_n=n(1+2n-1)2=n²；
（III）(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)=22-122•32-132•…•n2-1n2=1•3•2•4•3•5…•(n-1)(n+1)22•32•…•n2=n+12n
令n+12n＞10112013
∴n＜22323
∴满足(1-1T2)(1-1T3)…(1-1Tn)＞10112013的最大正整数n的值为223．

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的等比数列{an}中，已知a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。