设an=n+2(n∈N*)，求证：数列{an}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

题文

设a_n=n+2(n∈N*)，求证：数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：假设数列{a_n}中存在三项a_p，a_q，a_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则a_q²=a_pa_r．
即（q+2）2=（p+2）（r+2）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）2=0
∵p，q，r∈N^*，
∴q2-pr=02q-p-r=0，
∴（p+r2）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
所以数列{a_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设an=n+2(n∈N*)，求证：数列{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。