在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，n∈N．求数列{An}的前n项和Sn；

题文

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，
设为b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比数列的性质，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得A2n=(b1bn+2)•(b2bn+1)•…•(bn+1b2)•(bn+2b1)=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴An=2n+22．
因此，可得An+1An=2n+322n+22=2（常数），
∴数列{A_n}是首项为A1=22，公比为2的等比数列．
∴数列{A_n}的前n项和S_n=22[1-(2)n]1-2=(4+22)[(2)n-1]．
（2）由（1）得an=log2An=log22n+22=n+22，
∵tan1=tan[(n+1)-1]=tan(n+1)-tann1+tan(n+1)tann，
∴tan(n+1)tann=tan(n+1)-tanntan1-1，n∈N*．
从而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=tan(n+2)-tan(n+1)tan1-1，n∈N*
∴Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2
=tan2•tan3+tan3•tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)
=(tan3-tan2tan1-1)+(tan4-tan3tan1-1)+…+(tan(n+2)-tan(n+1)tan1-1)
=tan(n+2)-tan2tan1-n．
即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2=tan(n+2)-tan2tan1-n．

解析

A2n

考点

据考高分专家说，试题“在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。