数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn．证明：数列{Snn}是等比数列；Sn+1=4an．

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=n+2nS_n（n=1，2，3，…）．证明：
（Ⅰ）数列{Snn}是等比数列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证：由a₁=1，a_n+1=n+2nS_n（n=1，2，3，），
知a₂=2+11S₁=3a₁，S22=4a12=2，S11=1，∴S22S11=2
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=n+2nS_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，Sn+1n+1Snn=2（n=1，2，3，…），
故数列{Snn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：Snn=1×2n-1，∴S_n=n2^n-1
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．

解析

n+2n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。