已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．求数列{an}的通项公式；求数列{nan}的前n

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，a₂是a₁和a₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，
∴S_n+1=2^n-1（S₁+1）=2^n-1（a₁+1）①
S_n-1+1=2^n-2（a₁+1）②
①-②得
a_n=2^n-2（a₁+1），n≥2
a₂=a₁+1，
a₃=2（a₁+1）
a₂是a₁和a₃的等比中项，故
a₂²=a₁a₃，
（a₁+1）²=a₁•2（a₁+1），
解得a₁=1，（a₁=-1则a₂=0不合题意舍去）
故a_n=2^n-1．
（2）由a_n=2^n-1，知na_n=n×2^n-1，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
②-①得
T_n=n×2ⁿ-（2⁰+2¹+2²+2³+…+2^n-1）
=n×2ⁿ-1-2n1-2
=n×2ⁿ-2ⁿ+1．

解析

1-2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。